原来数学这样有趣/中小学科普经典阅读书系

一 数学是什么 这里所要说明的“数学”这一个词，包含着算术、代数、几何、三角等等在内。用英文名词来说，那就是Mathematics。它的定义，照平常的想法，非常简单、明了，几乎用不到再说明。若真要说明，问题却有很多。且先举罗素(Russell)，在他所著的《数理哲学》提出的定义，真是叫人莫名其妙，好像在开玩笑一样。他说： “Mathematics is the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true．” 将这句话粗疏地翻译出来，就是： “数学是这样一回事，研究它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。” 这样的定义，它的惝恍迷离，它的神奇莫测，真是“不说还明白，一说反糊涂”。然而，要将已经发展到现在的数学的领域统括得完全，要将它繁复、灿烂的内容表示得活跃，好像除了这样也没有别的更好的话可说了。所以伯比里慈(Papperitz)、伊特耳生(Itelson)和路易·古度拉特(Louis Couturat)几位先生对于数学所下的定义也是和这个气味相同。 对于一般的数学读者，这定义，恐怕反而使大家坠人五里雾中，因此拨云雾见青天的工作似乎少不了。罗素所下的定义，它的价值在什么地方呢？它所指示的是什么呢？要回答这些问题，还是用数学的其他定义来相比较更容易明白。 在希腊，亚里士多德(Aristotle)那个时代，不用说，数学的发展还很幼稚，领域也极狭小，所以只需说数学的定义是一种“计量的科学”，便可使人心满意足了。可不是吗？这个定义，初学数学的人是极容易明白、满足的。他们解四则问题、学复名数的计算，再进到比例、利息，无一件不是在计算量。就是学到代数、几何、三角，也还不容易发现这个定义的破绽。然而仔细一想，它实在有些不妥帖。第一，什么叫作量，虽然我们可以用一般的知识来解释。但真要将它的内涵弄明白，也不容易。因此用它来解释别的名词，依然不能将那名词的概念明了地表示出来。第二，就是用一般的知识来解释量，所谓计量的科学这个谓语也不能够明确地划定数学的领域。像测量、统计这些学科，虽然它们各有特殊的目的，但也只是一种计量。由此可知，仅仅用“计算的科学”这一个谓语联系到数学而成一个数学的定义，未免广泛了一点。 若进一步去探究，这个定义的欠缺还不止这两点，所以孔德(Comte)就加以修改而说：“数学是间接测量的科学。”照前面的定义，数学是计量的科学，那么必定要有量才有可计算的，但它所计的量是用什么手段得来的呢？用一把尺子就可以量一块布有几尺几寸宽、几丈几尺长；用一杆秤就可以量一袋米有几斤几两重，这自然是可以直接办到的。但若是测量行星轨道的广狭、行星的体积．或是很小的分子的体积，这些就不是人力所能直接测定的，然而由数学的方法可以间接将它们计算出来。因此，孔德所下的这个定义，虽然不能将前一个定义的缺点完全补正，但总是较进一步了。 孔德究竟是十九世纪前半期的人物，虽然他是一个不可多得的哲学家和数学家，但在他的时代，数学的领域远不及现在广阔，如群论、位置解析、投影几何、数论以及逻辑的代数等，这些数学的支流的发展，都是他以后的事。而这些支流和量或测量实在没什么关系。即如笛沙格(Desargues)所证明的一个极有兴味的定理：“两三角形的顶点若在集交于一点的三直线上，则它们的相应边的交点就在一条直线上。” 这个定理的证明，就只用到位置的关系，和量毫不相干。数学的这种进展，自然是轻巧地将孔德所给的定义攻破了。 到了1970年，皮尔士(Peirce)就另外给数学下了一个这样的定义： “数学是产生‘必要的’结论的科学。” 不用说，这个定义比以前的都广泛得多，它已离开了数、量、测量等这些名词。我们知道，数学的基础是建筑在几个所谓公理上面的。从方法上说，不过由这几个公理出发，逐渐演绎出去而组成一个秩序井然的系统。所谓公式、定理，只是这演绎所得的结论。 照这般说法，皮尔士的定义可以说是完整无缺吗？ 不！依了几个基本的公理，照逻辑的法则演绎出的结论，只是“必然的”。若说是“必要”，那就很可怀疑。我们若要问怎样的结论才是必要的，这岂不是很难回答吗？ P1-3